Champions du monde !

Cela n’a pas pu vous échapper, il y a trois mois, l’équipe de France de football a accroché une deuxième étoile à son maillot en remportant la coupe du monde. Nous ne pouvions commencer ce blog autrement qu’en rendant hommage à cette équipe au ballon de cette coupe du monde.

Si l’équipementier chargé du dessin du ballon de la coupe du monde avait fait dans l’originalité en 2014 avec le Brazuca, un ballon cubique, il est revenu à du classique en 2018 avec un retour aux sources, nous offrant une nouvelle version du classique Telstar.

Pour une petite histoire mathématique des ballons de la coupe du monde, nous ne pouvons que conseiller cette vidéo. Un bel article d'Etienne Ghys sur le Brazuca est disponible ici : ce ballon cubique est l'occasion d'illustrer un joli théorème relativement récent de mathématique (Pogorelov, 1973), dont on peut voir des illustrations dans l'exposition "Sous la surface, les maths". Cela fera sans doute l'objet d'un article ultérieur dans ce blog. Mais, pour l'instant, nous allons nous intéresser au ballon archi-classique, icône du football :

Ce ballon est constitué d'hexagones (en blanc) et de pentagones (en noir) cousus ensemble. Combien y a-t-il de pentagones et d'hexagones ?

Si on a un tel ballon sous la main, on peut les compter directement. Ce n’est pas si simple si on ne souhaite pas écrire sur le ballon pour savoir ce qu’on a déjà compté. On peut aussi essayer, à l’aide de la photo, et avec un peu d’imagination… Nous allons plutôt utiliser des propriétés topologiques et géométriques des polyèdres pour répondre à cette question. Ce sera l’occasion d’un petit voyage dans cet univers. Vous ne savez pas ce qu’est la topologie ? Pas de panique, cela va vous être expliqué plus bas.

Les polyèdres

Le ballon ci-dessus est un polyèdre, son petit nom est icosaèdre tronqué (voir [1] pour une explication de ce nom mais celle-ci va vous gâcher un petit peu la suite en donnant immédiatement la réponse à la question). Un polyèdre est composé de faces (qui sont des polygones), d'arêtes et de sommets. Le plus connu est sans aucun doute le cube, composé de faces carrées : il a 6 faces, 8 sommets et 12 arêtes. Certains polyèdres sont dits réguliers : ils sont composés de faces identiques qui sont des polygones réguliers (triangle équilatéral, carré, etc.) et tous leurs sommets sont identiques (vous verrez toujours la même chose en chaque sommet). Ces polyèdres réguliers, aussi appelés solides de Platon, sont au nombre de 5. Les voici :

                   

Nous avons donc, dans l'ordre, le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre :

  • Le tétraèdre possède 4 faces triangulaires (triangle équilatéral), 4 sommets et 6 arêtes. La valence de ses sommets (nombre d'arêtes partant d'un sommet) est 3.
  • Le cube possède 6 faces carrées, 8 sommets et 12 arêtes. La valence de ses sommets est aussi 3.
  • L'octaèdre possède 8 faces triangulaires (triangle équilatéral), 6 sommets et 12 arêtes. La valence de ses sommets est 4.
  • Le dodécaèdre possède 12 faces pentagonales (pentagone régulier), 20 sommets et 30 arêtes. La valence de ses sommets est 3.
  • L'icosaèdre possède 20 faces triangulaires (triangle équilatéral), 12 sommets et 30 arêtes. La valence de ses sommets est 5.

Notre ballon de football n'est pas un polyèdre régulier. Même si tous ses sommets sont identiques (de valence 3, avec deux hexagones et un pentagone accrochés à chaque sommet), ses faces ne sont pas toutes identiques.

Un peu de topologie

La topologie est une branche des mathématiques qui s'occupe d'objets mous, comme s'ils étaient en caoutchouc. Un topologue ne s'intéresse pas aux longueurs, aux angles mais a le droit de déformer les objets comme il le souhaite, à condition de ne pas les déchirer. Par exemple, pour un topologue, un donut et une tasse à café, c'est la même chose. On peut passer de l'un à l'autre sans rien déchirer :

Malgré tout, le topologue peut étudier ces objets. Il va trouver des invariants (des nombres, par exemple) qui ne changent pas quand on déforme l'objet. Ici, un donut comme une tasse à café possède un trou (sans vouloir préciser ce qu'on appelle un trou).

Revenons à nos polyèdres. Tous les polyèdres réguliers ci-dessus sont des objets identiques pour un topologue, on peut passer de l'un à l'autre par déformation sans déchirure. Une autre façon de le voir est que, si on s'imagine souffler dans un cube (ou un tétraèdre ou un autre solide de Platon), on va obtenir une sphère, un ballon. On peut gonfler un cube (le déformer sans le déchirer) pour obtenir une sphère.

Tous ces polyèdres qui donnent un ballon lorsqu'on souffle dedans ont une caractéristique commune, que les mathématiciens ont appelée caractéristique d'Euler-Poincaré, du nom de deux grands mathématiciens ayant travaillé sur le sujet, Euler [2] et Poincaré [3].

Quel est cet invariant ? Que vaut cette caractéristique d'Euler-Poincaré ? Prenez un de ces polyèdres, comptez son nombre de sommets (S), son nombre d'arêtes (A) et son nombre de faces (F). Faites $S-A+F$. Vous allez trouver 2, à chaque fois.

  • Pour le tétraèdre, $S=4$, $A=6$ et $F=4$ donc $S-A+F=4-6+4=2$.
  • Pour le cube, $S=8$, $A=12$ et $F=6$ donc $S-A+F=8-12+6=2$.
  • Pour l'octaèdre, $S=6$, $A=12$ et $F=8$ donc $S-A+F=6-12+8=2$.
  • Pour le dodécaèdre, $S=20$, $A=30$ et $F=12$ donc $S-A+F=20-30+12=2$.
  • Pour l'icosaèdre, $S=12$, $A=30$ et $F=20$ donc $S-A+F=12-30+20=2$.

Et pour notre ballon ? Ce sera la même chose. Si on le gonfle, c'est une sphère, bien sûr. On aura donc encore $S-A+F=2$. La caractéristique d'Euler-Poincaré de la sphère est 2, tous les polyèdres qui, une fois gonflés, donnent une sphère, vérifieront $S-A+F=2$.

Voir une preuve

Partons d'un polyèdre dont les sommets sont sur une sphère. Il est possible de mettre tous les sommets sur une sphère en "gonflant" le polyèdre si celui-ci donne une sphère quand on le gonfle. On va successivement transformer notre polyèdre sans changer $S-A+F$ pour arriver à une situation où le comptage est facile. On commence par transformer notre polyèdre en un autre avec uniquement des faces triangulaires. Pour ce faire, à chaque fois qu'on a une face non triangulaire, on prend un point sur cette face et on rejoint ce nouveau sommet à tous les sommets de la face choisie. Cela ajoute un sommet, $n$ arêtes (si la face était un polygone à $n$ sommets) et $n-1$ faces (les $n$ nouveaux triangles moins la face initiale). Donc $S-A+F$ est inchangé. On arrive donc à un polyèdre avec uniquement des faces triangulaires. On enlève une face et on étire le polyèdre pour l'aplatir sur un plan, de sorte à ce que la face enlevée (c'est un triangle) se trouve à l'extérieur. On se retrouve alors avec un graphe sur le plan qui ne forme que des triangles collés les uns aux autres, comme ceci : On enlève maintenant tous les triangles qui ont une seule arête à l'extérieur (et le troisième sommet à l'intérieur) : ceci enlève une face et une arête donc laisse inchangé $S-A+F$.

Quand on ne peut plus, on enlève tous les triangles qui ont deux arêtes sur l'extérieur : cela enlève un sommet, deux arêtes et une face donc laisse inchangé $S-A+F$.

On a transformé notre graphe en un nouveau graphe ayant la même propriété de n'avoir que des triangles à l'intérieur. Seule la face extérieure est changée (elle n'est plus forcément "triangulaire"). On réitère le processus depuis le début jusqu'à ce que ce ne soit plus possible. Il reste alors un seul triangle avec ses trois arêtes à l'extérieur. Voici les étapes successives de ce procédé sur l'exemple ci-dessus~:
    
    
    
    
    
    
Arrivé à cette dernière étape, il reste 2 faces (l'intérieure et l'extérieure), 3 sommets et 3 arêtes. Donc $S-A+F=2$. Comme ce nombre a été inchangé au cours du procédé, il était égal à 2 pour notre polyèdre de départ. Ce que nous voulions démontrer.


Un peu de combinatoire

Grâce à cette propriété de nos polyèdres, nous pouvons : montrer qu'il n'y a pas d'autres polyèdres réguliers que les 5 solides de Platon, calculer le nombre de pentagones de notre ballon de football. Nous allons pour cela jouer avec la formule $S-A+F=2$ et faire un peu de combinatoire pour trouver des relations entre nombre de faces, nombre d'arêtes et nombre de sommets.

Les polyèdres réguliers : il n'y en a que 5

Un polyèdre régulier est un polyèdre constitué de faces polygonales identiques. Notons $n$ le nombre de côtés de ses polygones ($n=3$ pour le triangle, $n=4$ pour le carré, $n=5$ pour le pentagone, $n=6$ pour l'hexagone, etc.). Notons $v$ la valence de ses sommets (c'est le nombre d'arêtes partant d'un sommet).

Commençons par compter le nombre d'arêtes de notre polyèdre régulier. Il y en a $v$ qui partent de chaque sommet. En les comptant ainsi, nous les avons toutes comptées deux fois puisqu'une arête a deux sommets. Ainsi, le nombre d'arêtes est $\frac{v}{2}$ fois le nombre de sommets. On peut donc écrire $2\times A=v\times S$. On peut compter les arêtes d'une autre façon. A chaque face-polygone correspondent $n$ arêtes ($n$ étant le nombre de côtés du polygone). Encore une fois, nous les avons comptées deux fois puisqu'une arête est sur deux faces. Donc $2\times A=n\times F$. Ainsi, nous avons obtenu $$2\times A=v\times S=n\times F\hskip.1cm.$$ Il est temps maintenant d'utiliser la caractéristique d'Euler-Poincaré, $S-A+F=2$. Comme $A=\frac{v}{2}\times S$ et $F=\frac{v}{n}\times S$, on peut remplacer $A$ et $F$ par ces valeurs dans la formule $S-A+F=2$. Ceci donne $$S-\frac{v}{2}\times S+\frac{v}{n}\times S=2\hskip.1cm.$$ En mettant $S$ en facteur, on trouve $$S\times\left(1-\frac{v}{2}+\frac{v}{n}\right)=2\hskip.1cm.$$ Essayons de trouver les polyèdres réguliers envisageables. Pour cela, nous allons regarder successivement les différentes valeurs de n.

  • $n=3$, les faces sont triangulaires. La formule donnant le nombre de sommets est alors $S\times\left(1-\frac{v}{2}+\frac{v}{3}\right)=2$ ou encore $S\times \left(1-\frac{v}{6}\right)=2$. Comme le nombre de sommets $S$ est positif, il faut que $1-\frac{v}{6}>0$ pour que le produit puisse être positif. Ceci signifie que $v<6$. Comme la valence est supérieure ou égale à 3 (vérifiez qu'elle ne peut pas être 2 !), il reste $v=3,\, 4,\, 5$. Si $v=3$, on obtient $S=4$ puis $A=6$ puis $F=4$, c'est le tétraèdre. Si $v=4$, on obtient $S=6$ puis $A=12$ puis $F=8$, c'est l'octaèdre. Pour $v=5$, on obtient $S=12$ puis $A=30$ puis $F=20$, c'est l'icosaèdre. Il n'y a pas d'autres polyèdres réguliers avec des faces triangulaires.
  • $n=4$, les faces sont carrées. La formule donnant le nombre de sommets est alors $S\times\left(1-\frac{v}{2}+\frac{v}{4}\right)=2$ ou encore $S\times\left(1-\frac{v}{4}\right)=2$. Comme ci-dessus, il faut que $1-\frac{v}{4}>0$; il n'y a donc qu'une possibilité, $v=3$. On obtient alors $S=8$ puis $A=12$ et $F=6$, c'est le cube. C'est le seul polyèdre régulier avec des faces carrées.
  • $n=5$, les faces sont pentagonales. La formule donnant le nombre de sommets est alors $S\times\left(1-\frac{v}{2}+\frac{v}{5}\right)=2$, ou encore $S\times\left(1-\frac{3v}{10}\right)=2$. Comme ci-dessus, il faut que $1-\frac{3v}{10}\ge 0$; il n'y a donc qu'une possibilité, $v=3$. On obtient alors $S=20$ puis $A=30$ et $F=12$, c'est le dodécaèdre. C'est le seul polyèdre régulier avec des faces pentagonales.
  • $n=6$, les faces sont hexagonales. La formule donnant le nombre de sommets est alors $S\times\left(1-\frac{v}{2}+\frac{v}{6}\right)=2$, ou encore $S\times\left(1-\frac{v}{3}\right)=2$. Mais ceci est impossible car $v$ est supérieur ou égal à 3 donc $1-\frac{v}{3}\le 0$. Comme $S$ est positif, notre produit ne vaudra jamais 2 ! Il n'y a donc pas de polyèdres réguliers avec des faces hexagonales.
  • Et $n$ plus grand que 6 ? C'est la même chose car $1-\frac{v}{2}+\frac{v}{n}<0$ si $n>6$ et $v>2$. Il n'y a aucun polyèdre régulier avec des faces à 7 côtés ou plus.

Grâce à la caractéristique d'Euler-Poincaré et à un peu de dénombrement (pour obtenir des relations entre les nombres d'arêtes, de faces et de sommets), nous avons montré que les 5 solides de Platon étaient les seuls polyèdres réguliers possibles. Comme ils existent (puisque nous pouvons les construire), nous avons terminé : il y a exactement 5 polyèdres réguliers. Euclide, dans le livre XIII des Eléments [4], avait déjà étudié ces polyèdres réguliers et montré qu'il n'y en avait que 5, mais sans la caractéristique d'Euler-Poincaré qui n'a été découverte que beaucoup plus tard !

Et notre ballon de football ?

Celui-ci est composé d'hexagones et de pentagones. Notons $h$ le nombre d'hexagones et $p$ le nombre de pentagones. Remarquons que tous les sommets sont de valence 3. Commençons par écrire que le nombre de faces est $F=p+h$. Comptons maintenant le nombre d'arêtes. Il y en a 3 qui partent de chaque sommet et nous les comptons alors 2 fois. Ainsi $3\times S=2\times A$. Une autre façon de le faire est de dire qu'à chaque pentagone correspondent 5 arêtes et à chaque hexagone correspondent 6 arêtes. Nous avons alors compté ces arêtes 2 fois. Donc $2\times A=5p+6h$. Ecrivons alors que $S-A+F=2$ et remplaçons $F$ par $h+p$, $A$ par $\frac{5p+6h}{2}$ et $S$ par $\frac{5p+6h}{3}$. Ceci nous donne $$\frac{5p+6h}{3}-\frac{5p+6h}{2}+p+h=2\hskip.1cm,$$ ou encore, en regroupant les $h$ et les $p$, $$2= p\times \left(\frac{5}{3}-\frac{5}{2}+1\right)+h\times\left(\frac{6}{3}-\frac{6}{2}+1\right)=\frac{p}{6}\hskip.1cm.$$ Donc, nécessairement, $p=12$. Notre ballon contient 12 pentagones. Sans même savoir combien il y a d'hexagones, nous avons réussi à trouver le nombre de pentagones.

Pour trouver le nombre d'hexagones, il faut utiliser le fait qu'en chaque sommet du ballon partent un pentagone et deux hexagones. Le nombre de sommets est alors 5 fois le nombre de pentagones : il y a 5 sommets par pentagone et on ne les compte qu'une fois puisque de chaque sommet ne part qu'un pentagone. Il y a donc 60 sommets. Mais il y a aussi 6 sommets par hexagone et on les compte alors deux fois. Donc $2\times S=6\times h$. Comme $S=60$, cela nous donne $h=20$. Il y a donc 20 hexagones dans notre ballon de football.

Conclusion : notre ballon de football est un polyèdre composé de 32 faces (12 pentagones et 20 hexagones), 90 arêtes et 60 sommets !

Un peu de géométrie

Quittons le monde de la topologie pour entrer dans celui de la géométrie. Si la topologie ne tient pas compte des angles et des longueurs, la géométrie, si, c’est à cela qu’elle s’intéresse.

Quand on a une surface, pensez à une sphère, elle est courbée. La sphère est visiblement d’autant plus courbée que son rayon est petit, et d’autant moins que son rayon est grand : pensez à la Terre, sa surface est une sphère mais tellement grande qu’à notre échelle, sa courbure est difficile à détecter. Mais peut-on dire d’un polyèdre qu’il est courbé ? Ces faces sont planes et ne présentent aucune courbure. Par contre, ces sommets semblent présenter une courbure. Si nous revenons à nos cinq polyèdres réguliers, nous aurions tendance à dire que la courbure en leur sommet est plus ou moins grande. Intuitivement, il semblerait qu’on puisse les classer par ordre de courbure de leurs sommets, du plus courbé au moins courbé : le tétraèdre, l’octaèdre, le cube, l’icosaèdre, le dodécaèdre. Pas forcément facile de s’en convaincre mais si vous les construisez et mettez les sommets les uns à côté des autres, vous devriez être d’accord avec moi.

Reprenons tous ceux qui sont fabriqués avec des triangles. Les sommets les plus courbés sont ceux du tétraèdre : trois triangles partent de chaque sommet. Un peu moins courbé sont les sommets de l’octaèdre : quatre triangles partent de chaque sommet. Encore moins courbés sont les sommets de l’icosaèdre : cinq triangles partent de chaque sommet. Que se passerait-il si six triangles partaient de chaque sommet ? Essayez, vous n’obtiendriez pas un polyèdre mais un pavage du plan, tout plat~!

Il se trouve qu’un bon moyen de mesurer cette courbure en un sommet est de faire la somme des angles des polygones qui partent de ce sommet. Par exemple, pour le tétraèdre, trois triangles équilatéraux en partent, et les angles d’un triangle équilatéral sont de 60 degrés. Ainsi la somme des angles est de 180 degrés. Pour l’octaèdre, la somme des angles est $4\times 60=240$ degrés; pour l’icosaèdre, la somme des angles est de $5\times 60=300$ degrés; enfin, pour le pavage du plan par des triangles équilatéraux, la somme des angles au sommet est $6\times 60=360$ degrés. Ainsi nous pourrions mesurer la courbure d’un sommet par la différence entre 360 degrés et la somme des angles à ce sommet. En effet, c’est une bonne définition de la courbure mais cela nous emmènerait trop loin… Admettons-le.

Avec cette définition, nous pouvons dire que :

  • Pour le pavage du plan par des triangles équilatéraux, la courbure en chaque sommet est de $360-360=0$. Elle est nulle, ce qui semble cohérent avec le fait que ce pavage est plan, non courbé.
  • Pour le tétraèdre, la courbure en chaque sommet est de $360-3\times 60=360-180=180$ degrés.
  • Pour l’octaèdre, la courbure en chaque sommet est de $360-4\times 60=360-240=120$ degrés.
  • Pour le cube, la courbure en chaque sommet est de $360-3\times 90=360-270=90$ degrés.
  • Pour l'icosaèdre, la courbure en chaque sommet est de $360-5\times 60=360-300=60$ degrés.
  • Pour le dodécaèdre, la courbure en chaque sommet est de $360-3\times 108=360-324=36$ degrés [5].

Une petite remarque : moins les sommets du polyèdre ont de courbure, plus le polyèdre a de sommets. C'est comme s'il fallait, pour faire un polyèdre régulier, une certaine dose de courbure totale. Si on regarde plus attentivement, c'est le cas :

  • Le tétraèdre a 4 sommets, chacun de courbure 180 degrés. La courbure totale est donc $4\times 180=720$ degrés.
  • L’octaèdre a 6 sommets, chacun de courbure 120 degrés. La courbure totale est donc $6\times 120=720$ degrés.
  • Le cube a 8 sommets, chacun de courbure 90 degrés. La courbure totale est donc $8\times 90=720$ degrés.
  • L'icosaèdre a 12 sommets, chacun de courbure 60 degrés. La courbure totale est donc $12\times 60=720$ degrés.
  • Le dodécaèdre a 20 sommets, chacun de courbure 36 degrés. La courbure totale est donc $20\times 36=720$ degrés.

Tous ces polyèdres ont une courbure totale de 720 degrés. C'est en fait le cas de tous les polyèdres qui, une fois gonflés, donnent une sphère. Ils auront tous une courbure totale de 720 degrés. Ce résultat est plus difficile à montrer que celui sur la caractéristique d'Euler-Poincaré de ces mêmes polyèdres qui est 2. Nous ne le ferons pas ici. Nous avons donc trouvé un invariant géométrique pour ces polyèdres. En fait, cet invariant géométrique est lié à l'invariant topologique qu'est la caractéristique d'Euler-Poincaré. Mais c'est une autre histoire... [6]

Voyons comment nous pouvons utiliser cette courbure totale pour compter autrement les nombres de pentagones et d'hexagones de notre ballon de football. En chaque sommet de celui-ci arrivent deux hexagones et un pentagone. L'angle d'un hexagone est de 120 degrés, celui d'un pentagone de 108 degrés. La courbure en chaque sommet est donc $360-120\times 2-108=12$ degrés. Pour arriver à une courbure totale de 720 degrés, il nous faut donc $\frac{720}{12}=60$ sommets. Le ballon de football doit donc avoir 60 sommets. Comme chaque pentagone apporte 5 sommets et chaque sommet n'appartient qu'à un pentagone, il y a $\frac{60}{5}=12$ pentagones. Comme chaque hexagone apporte 6 sommets et chaque sommet appartient à 2 hexagones, il y a $\frac{60}{6}\times 2=20$ hexagones.

C'est fou, les maths qu'on peut faire avec un ballon de football !

Un simple ballon de football nous a permis de trouver deux invariants sur les polyèdres : un invariant topologique (la caractéristique d'Euler-Poincaré), un invariant géométrique (la courbure totale). Pas de coïncidence, les deux sont reliés ! Ces liens entre géométrie et topologie sont un domaine de recherche encore très actif (dont l'âge d'or remonte à la fin du 20ème siècle) dont il sera sans doute question dans un futur article de ce blog. Nous aurions pu aussi parler de surfaces développables (thème bien présent dans l'exposition), de dualité et de bien d'autres choses à propos de ce ballon !

Et l'expo, dans tout ça ?

Quel est le lien entre un ballon de football et l'exposition " Sous la surface, les maths" ? Pas énorme. Par contre, la notion de maillage d'une surface (approcher la surface par un polyèdre) est très présente dans l'exposition puisque c'est souvent comme cela que les images des jeux video sont produites.
mascotte

Par exemple, la mascotte de l'exposition ci-contre n'est qu'un simple maillage habillé puis éclairé pour lui redonner de la richesse ! On voit d'ailleurs sur celle-ci le maillage nu (en bas) et le maillage habillé (en haut). Evidemment, lorsqu'il est habillé, on ne le voit plus. C'est toute la magie du plaquage de texture et de l'éclairage : enrichir ce maillage pour le camoufler. Mais, sous la surface, il y a un maillage ! Pour découvrir les techniques utilisées pour transformer ce maillage en joli personnage, venez visiter l'exposition !

Les invariants des polyèdres dévoilés ci-dessus imposent des contraintes sur le choix du maillage d'une surface. Même si celles-ci ne sont pas très fortes, elles sont intéressantes à étudier.

Un petit bonus pour réfléchir

Les mathématiques, il faut les pratiquer pour les apprécier ! Voici donc une petite question bonus : avec la méthode que vous préférez, trouvez combien de triangles, de carrés, de pentagones (mais aussi d'arêtes et de sommets) il y a dans ce joli polyèdre :

Essayez avant de dérouler les réponses !

Réponse topologique

Notons $p$ le nombre de pentagones, $c$ le nombre de carrés et $t$ le nombre de triangles. Le nombre de faces est alors $$F= p+c+t\hskip.1cm.$$ Remarquons que tous les sommets sont identiques et de valence 4. A chaque sommet correspondent donc 4 arêtes et nous les comptons ainsi 2 fois. Donc $4S=2A$, ou encore $$A = 2\times S\hskip.1cm.$$ Comptons les arêtes d'une autre façon. Chaque pentagone en fournit 5, chaque carré en fournit 4, chaque triangle en fournit 3. Nous les comptons ainsi deux fois. Donc $$A = \frac{5\times p +4\times c +3\times t}{2}\hskip.1cm.$$ Utilisons maintenant la caractéristique d'Euler-Poincaré : $S-A+F=2$. Et remplaçons $F$ par $p+c+t$, $A$ par $\frac{5\times p +4\times c +3\times t}{2}$ et $S$ par $\frac{A}{2}=\frac{5\times p +4\times c +3\times t}{4}$ pour obtenir $$2 = \frac{5\times p +4\times c +3\times t}{4}-\frac{5\times p +4\times c +3\times t}{2}+p+c+t = -\frac{p}{4}+\frac{t}{4}\hskip.1cm.$$ Il va nous falloir une information de plus : par exemple, de chaque sommet des pentagones part un triangle. Si nous comptons les triangles ainsi, nous en obtenons a priori $5\times p$. Mais nous les avons tous comptés 3 fois puisque tous les sommets d'un triangle sont sur un pentagone. Nous pouvons en déduire que $$t=\frac{5\times p}{3}\hskip.1cm.$$ En remplaçant $t$ par sa valeur dans la formule ci-dessus, nous pouvons donc écrire que $$2= -\frac{p}{4}+\frac{5\times p}{12}=\frac{p}{6}\hskip.1cm.$$ Ceci nous donne $p=12$ puis $t=20$. Reste à obtenir le nombre de carrés. Il y en a un accroché à chaque arête de pentagone et on les compte alors 2 fois puisque chaque carré a deux arêtes communes avec un pentagone. Ainsi, $$c= \frac{5\times p}{2}=\frac{5\times 12}{2}=30\hskip.1cm.$$ Maintenant, nous avons le nombre de faces ($F=p+c+t=62$), le nombre d'arêtes ($A = \frac{5\times p +4\times c +3\times t}{2}=120$) et le nombre de sommets ($S=\frac{A}{2}=60$). Et voilà, la caractéristique d'Euler-Poincaré accompagnée d'un peu de dénombrement nous a permis de tout savoir sur ce polyèdre.


Réponse géométrique

Remarquons que tous les sommets sont identiques. Arrivent en chaque sommet un pentagone, un triangle équilatéral et deux carrés. La somme des angles est alors $108+2\times 90+60=348$ degrés. Ainsi la courbure en chaque sommet est $360-348=12$ degrés. Pour obtenir une courbure totale de 720 degrés, il nous faut donc, comme pour notre ballon de football, 60 sommets. Ensuite, on voit que chaque pentagone fournit 5 sommets, un sommet n'est que sur un pentagone et chaque sommet appartient à un pentagone. Il y a donc $\frac{60}{5}=12$ pentagones. A chaque arête de pentagone correspond un carré. En comptant les carrés ainsi, nous les comptons deux fois puisqu'ils ont deux arêtes communes avec des pentagones. Il y a donc $\frac{5\times 12}{2}=30$ carrés. Pour les triangles, nous pouvons remarquer qu'il y en a un accroché à chaque sommet de pentagone. Nous les comptons ainsi trois fois puisque tous les sommets d'un triangle sont également les sommets d'un pentagone. Il y a donc $\frac{5\times 12}{3}=20$ triangles. Il reste à trouver le nombre d'arêtes. Or chaque pentagone fournit 5 arêtes, chaque carré en fournit 4, chaque triangle en fournit 3. Et nous les aurons toutes comptées deux fois. Il y a donc $\frac{5\times 12+4\times 30+3\times 20}{2}=120$ arêtes. Nous n'avons pas utilisé la caractéristique d'Euler-Poincaré mais un peu de dénombrement et la courbure totale de notre polyèdre pour arriver à la conclusion suivante : ce polyèdre possède 62 faces (12 pentagones, 30 carrés, 20 triangles), 120 arêtes et 60 sommets. A titre de remarque, on a bien $S-A+F=2$, heureusement !


Pour aller plus loin, ou autrement

  • Les ballons de football : une vidéo de 15 minutes sur les divers ballons de football au cours du temps, et les mathématiques cachées derrière.
  • Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde : un article d'Etienne Ghys sur Images des Mathématiques qui vous livrera tous les secrets du ballon très spécial de la coupe du monde 2014 au Brésil.
  • Ballon rond : un article de Michèle Audin sur Images des Mathématiques à propos du ballon classique. Je m'en suis bien inspiré, vous y apprendrez en particulier comment en construire un en papier.
  • La tante et les polyèdres : un billet de Patrick Pospescu-Pampu encore sur Images des Mathématiques (c'est une mine d'or) qui vous expliquera comment dessiner simplement l'icosaèdre et le dodécaèdre.
  • La balle et la courbe : un article de Serge Cantat sur Images des Mathématiques (désolé, j'adore ce site) qui vous racontera des mathématiques autour de la balle de ping-pong, le ballon de basket ou la balle de tennis. Ça change un peu du ballon de football.
  • Un ballon de foot fractal : un article de Jos Leys sur Images des Mathématiques. Beaucoup plus difficile mais avec des images magnifiques ! Et les fractales sont aussi à l'honneur dans l'exposition "Sous la surface, les maths", avec d'ailleurs des images prêtées par Jos Leys.
  • Une activité à faire en classe autour des polyèdres et de la caractéristique d'Euler-Poincaré. Beaucoup de choses en commun avec cet article.

Notes

[1] Prenez un icosaèdre avec ses 20 faces triangulaires et ses 12 sommets. Imaginez que vous tranchiez chaque sommet : vous coupez le polyèdre par un plan au voisinage de chacun de ses sommets. Vous pouvez le faire de sorte à obtenir à la place de chaque sommet un pentagone régulier (puisque 5 faces partent de chaque sommet). Si vous tranchez en chaque sommet de la même façon, vous obtiendrez alors 12 pentagones réguliers à la place des 12 sommets. Et si vous tranchez au bon endroit, chaque triangle deviendra un hexagone régulier. Et voilà le Telstar : c'est un icosaèdre tronqué.

[2] Leonhard Euler (1707-1783) était un mathématicien allemand. Extrêmement prolifique, il a touché à beaucoup de domaines des mathématiques. Il est considéré comme le père de la théorie des graphes et c'est en s'intéressant aux graphes qu'il a trouvé cette caractéristique des polyèdres qui s'inscrivent dans une sphère. Voici la page wikipedia qui lui est consacrée pour en savoir plus sur sa vie et son œuvre.

[3] Henri Poincaré (1854-1912) était un mathématicien français. Dernier grand savant universel, il a contribué de manière fondamentale à de nombreuses branches des mathématiques. Il est considéré comme le fondateur de la topologie. C'est lui qui a compris qu'on pouvait faire de cette caractéristique découverte par Euler un concept beaucoup plus général et fondamental (dépassant de loin le niveau de cet article). On pourra consulter la page wikipedia qui lui est consacrée.

[4] Les Eléments d'Euclide sont constitués de 13 livres. Ils ont été écrits au 4ème-3ème siècle avant J.C. et sont restés un "best-seller" pendant plus de 2000 ans. On ne compte pas le nombre de personnes ayant appris la géométrie dans cet ouvrage. La classification des polyèdres réguliers en est l'apothéose.

[5] L'angle d'un pentagone mesure 108 degrés. Comment faire pour trouver cet angle ?

Nous cherchons la valeur de l'angle vert. L'angle rouge est son complémentaire. Quand nous faisons le tour du pentagone, nous allons tourner 5 fois de la valeur de l'angle rouge. Or faire un tour complet correspond à 360 degrés. Ainsi l'angle rouge vaut $\frac{360}{5}=72$ degrés. Donc l'angle vert vaut $180-72=108$ degrés. Avec le même argument, on se rend compte que l'angle du polygone régulier à $n$ côtés vaut $180-\frac{360}{n}$ degrés.


[6] C'est la formule de Gauss-Bonnet qui relie la caractéristique d'Euler-Poincaré à la courbure totale. Résultat classique de géométrie des surfaces, elle constituerait un joli hors-piste ici. Le lecteur intéressé pourra aller voir ici (pour une jolie version) ou (pour une version plus aride).

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